|
بازتاب امواج وقتی كه موجی به مرز دو محیط میرسد ، بخشی از مرز عبور میكند ، بخشی در این ناحیه جذب و به انرژی درونی تبدیل میشود و بخشی هم باز میتابد . آن بخش از موج كه وارد محیط دوم شده ، دامنهاش از موج اصلی كمتر است ولیبسامدش تغییری نمیكند ،سرعت انتشار نیز به دلیل تغییر محیط عوض خواهد شد .بنابراین عدد موج تغییر خواهد كرد . موجی كه باز میتابد دامنهاش از موج تابش كمتر است . بسامد موج باز تاب برابر با موج تابش است و سرعت انتشار آن هم چون محیط تغییر نكرده است ، عوض نمی شود . ممكن است فاز موج بازتاب با فاز موج تابش تفاوت داشته باشد . این تفاوت به چگونگی مرز دو محیط بستگی دارد : بازتاب موج از انتهای باز مرز دو محیط میتواند دارای اصطكاك نباشد دراین صورت در اثر رسیدن موج به این محل ، نقطهی انتهای محیط اول ، به راحتی و آزادانه نوسان میكند و مانعی برای نوسان آن وجود ندارد . در این صورت میگوییم كه موج به انتهای باز رسیده است . مشاهده میشود كه : اولا :دامنهی نوسان در انتهای باز ، بیشینه است . ثانیا : موج تابش و موج باز تاب در انتهای باز هم فاز هستند . باتوجه به آنچه كه دربخش برهمنهیامواج خواهیم دید برهمنهیموج تابش و بازتاب درانتهای باز برهمنهیسازنده است و در انتهای باز شكم تشكیل میشود . بازتاب موج از انتهای بسته
ممكن است در ناحیه ی مرزی ، اصطكاك وجود داشته باشد و به همین دلیل نتواند به راحتی نوسان كند . وقتی انتهای طنابی را به دیوار میبندیم همین اتفاق میافتد . در این صورت در نزدیكی مرز آخرین جزء محیط اول و اولین جزءمحیط دوم برهمكنش دارند یعنی به هم نیرو وارد میكنند . بنا به قانون سوم نیوتون ، نیروهایی كه این دو جزء به هم وارد می كنند ، هماندازه و در خلاف جهت هستند در این صورت اگر طناب بخواهد به دیوار نیروی رو به بالا وارد كند دیوار در عوض به طناب نیروی رو به پایین وارد خواهد كرد و به همین سبب ، باعث ایجاد یك ارتعاش در فاز مخالف در محیط اول ( در اینجا طناب ) خواهد شد ، به طور كلی بازتاب از روی چنین انتهایی كه به آن انتهای بسته ( ثابت ) می گوییم به گونهای است كه : اولا :دامنهی نوسان در انتهای باز ، كمینه است . یعنی از دامنه نوسان بقیه ی نقاط محیط كمتر است. ثانیا : موج تابش و موج باز تاب در انتهای باز در فاز مخالف هستند . با توجه به آنچه كه در بخش برهم نهی امواج خواهیم دید برهم نهی موج تابش وبازتاب در انتهای ثابت برهمنهی ویرانگر است و در انتهای بسته گره تشكیل میشود . معادلههای موج تابش و بازتاب از انتهای باز
اگر معادلهی موج تابش چنین باشد Ui = A sin ( wt – k x ) برای معادلهی موج بازتابش خواهیم داشت یا اگر معادلهی موج تابش چنین باشد Ui = A sin ( wt + k x ) برای معادلهی موج بازتابش خواهیم داشت در معادلات فوق به ازای x = 0 كه مختصهی نقطه ی انتهایی محیط فرض شده است اختلاف فاز موج تابش و بازتاب آن، صفر است . D j = j r - j i D j = ( w t + k x ) – ( w t - k x ) D j = 2 k x x = 0 ] D j = 0 اختلاف فاز موجهای تابش و بازتاب برای xهای دیگر هم مقدار معینی دارد كه بستگی به مقدار x دارد معادلههای موج تابش و بازتاب از انتهای ثابت
اگر معادلهی موج تابش چنین باشد Ui = A sin ( wt – k x ) برای معادلهی موج بازتابش خواهیم داشت یا اگر معادلهی موج تابش چنین باشد Ui = A sin ( wt + k x ) برای معادلهی موج بازتابش خواهیم داشت در معادلات فوق به ازای x = 0 كه مختصهی نقطه ی انتهایی محیط فرض شده است اختلاف فاز موج تابش و بازتاب آن، برابر p است . D j = j r - j i D j = ( w t + k x - p ) – ( w t - k x ) D j = 2 k x - p x = 0 ] |D j | = p اختلاف فاز موجهای تابش و بازتاب برای xهای دیگر هم مقدار معینی دارد كه بستگی به مقدار x دارد اصل برهم نهی موجها
هرموج ضمن انتشار ، بدون آن كه برای انتشار سایر موج های دیگر مزاحمتی ایجاد كند ، از آن ها عبور كرده و به انتشار خود ادامه می دهد . درست مانند آن كه هیچ موج دیگری در محیط منتشر نمیشود . در نقطهای كه دوتا موج با هم برخورد میكنند جابهجایی ذرهی محیط كه در آن نقطه است ، برابر برآیند جابهجاییهای حاصل از هریك از موجهاست هنگام انتشار دو موج هرگاه جابهجاییهای حاصل از آنها همجهت باشد برآیند آن ها برابر مجموع اندازههای جابهجایی های حاصل از هریك است . در این حالت برهمنهی موج ها سازنده است. در حالتی كه جابهجاییها در خلاف جهت یك دیگر باشند، جابهجایی برآیند برابر برابر تفاضل جابهجایی هاست كه هرموج به تنهایی در جزیی از طناب كه با هم به آن رسیدهاند ایجاد میكنند. در این حالت برهمنهی ویرانگر است موجهای ایستاده در طناب هرگاه دو چشمهی موج با دامنهها و بسامدهای یكسان در دو انتهای یك طناب كشیده شده شروع به نوسان كرده و نوسان های همراستایی ایجاد كنند موج های حاصل از این دو چشمهی یكسان به سوی یك دیگر منتشر میشوند وقتی هریك از این دو موج در تمام طول طناب گسترده شده با شند به هر جزء طناب در هر لحظه دو موج میرسد . بنابر اصل برهمنهی موج ها جابه جایی هر جزءطناب برابر برآیند جابهجاییهایی است كه هریك از دو موج در آن لحظه در آن جزء ایجاد میكنند وضعیت نوسانی هرنقطه بستگی به مكان آن نقطه در طناب دارد . از برهمنهی چنین دو موجی ، در طناب شكل خاصی به وجود میآید كه به آن موج ایستاده می گویند به بعضی از نقاط طناب ، در هرلحظه دو موج میرسد ، كه در آن نقطه جابهجاییهای یكسان اما در خلاف جهت ایجاد میكنند . در نتیجه برهمنهی دو موج در چنین نقطه هایی ویرانگر است و جابه جایی برآیند آن ها از وضع تعادل صفر است . این نقطه ها همواره ساكن می مانند . به این نقطهها گره گفته میشود و آن را با نماد N نمایش میدهند . جای گره ها در طول طناب تغییر نمی كند .به بعضی از نقاط طناب ، در هرلحظه دو موج میرسد ،وضعیت دو موج در این نقطه ها به گونهای است كه برهمنهی آنها باعث میشود كه این نقطهها با بیشینهی دامنه نوسان كنند . به این نقطهها شكم یا پاد گره گفته میشود . جای شكم ها نیز مانند گره ها ثابت است . و آن را با نماد A نمایش میدهند .
برای آن كه در طول یك طناب موج ایستاده تشكیل شود باید بین طول طناب و طول موج رابطهی معینی وجود داشته باشد . این رابطه به بسامد نوسان n، سرعت انتشار موج در طنابV ( در نتیجه به نیروی كشش طناب F و جرم واحد طول طنابm ) بستگی دارد
باید توجه داشت كه خطچین ها نمایش دو موج همراستا همدامنه و همبسامد است كه حاصل برهمنهی آنها موجهای ایستاه است هنگام تشكیل موج ایستاده خطچینها دیده نمیشوند و فقط حاصل بر هم نهی آنها یعنی موجایستاده ( خط های پر در شكلهای بالا ) دیده می شود
اگر T كوچك باشد با توجه به خاصیت دوام دید چشم ،تصویر طناب در وضعیت های مختلف ( كه چندتای از آنها به صورت خط پر در بالا رسم شده است ) هم زمان دیده میشود و در مجموع شكل هایی در طناب مشاهده میشود كه دوانتهای هریك از آن ها دو گره است و فاصلهی دو گره متوالی با نصف طول موج برابر است .
: وسط هر دوگره متوالی نقاطی هستند كه با بیشترین دامنه نوسان می كنند . به این نقاط شكم ( پاد گره ) گفته میشود . و فاصلهی دو شكم متوالی با نصف طول موج برابر است . همهی نقاط بین دو گره متوالی نوسانات هم فاز ولی با دامنههای متفاوت انجام می دهند . هردو شكم متوالی نوسانات در فاز مخالف ولی با دامنههای یكسان انجام می دهند. هرچه از شكم به طرف گره میرویم ، دامنهی نوسان مولكول های طناب كاهش می یابد . در گره ها دامنه ی نوسان صفر است . بسامد موجهای ایستاده با بسامد دوموجی كه بر هم نهاده می شوند یكی است .
تحلیل ریاضی برهمنهی موجها میدانیم از تركیب دو موج همدامنه و همبسامد و همراستا كه در خلاف جهت یكدیگر در یك محیط منتشر میشوند موج ایستاده تشكیل میشود .بنابراین تركیب موجهای تابش با موجهای بازتاب نیز موج ایستاده تشكیل می شود . تركیب یك موج سینوسی با بازتاب همان موج از انتهای باز اگر معادلهی موج تابش چنین باشد Ui = A sin ( wt – k x ) برای معادلهی موج بازتابش خواهیم داشت و برای معادلهی موج ایستاده خواهیم داشت UT = 2A cos k x sin wt در معادلات فوق به ازای x = 0 كه مختصهی نقطه ی انتهایی محیط فرض شده است دامنهی موج ایستاده ،2A است كه بیشینهی دامنه است .یعنی همانگونه كه قبلا دیده شد در انتهای باز شكم تشكیل می شود . دامنهی موج ایستاده در این مثال 2A cos k x است . مشاهده میشود كه این دامنه تابع x است یعنی دامنه موج ایستاده در x های مختلف ( نقطههای مختلف طناب ) فرق میكند . به ازای cos k x = 1 محل شكم ها به طور كلی تعیین می شود cos k x = 1 k x = n p ( 2 p / l ) x = n p x = n l / 2 به عبارت دیگر میدانیم در شكم ها موج های تداخلی هم فازند : D j = j r - j i D j = ( w t + k x ) – ( w t - k x ) = 2 k x 2 k x = 2n p 2 ( 2 p / l ) x = 2n p x = n l / 2 به ازای cos k x = 0 محل گرهها به طور كلی تعیین می شود cos k x = 0 ] k x = ( 2 n – 1 ) p / 2 ] ( 2 p / l ) x = ( 2 n – 1 ) p / 2 ] x = ( 2 n – 1 ) l / 4 به عبارت دیگر میدانیم در گره ها موج های تداخلی در فاز مخالف اند : D j = j r - j i D j = ( w t + k x ) – ( w t - k x ) = 2 k x 2 k x = ( 2 n – 1 ) p 2 ( 2 p / l ) x = ( 2 n – 1 ) p x = ( 2 n – 1 ) l / 4 تركیب یك موج سینوسی با بازتاب همان موج از انتهای بسته اگر معادلهی موج تابش چنین باشد Ui = A sin ( wt – k x ) برای معادلهی موج بازتابش خواهیم داشت و برای معادلهی موج ایستاده خواهیم داشت UT = 2A sin k x cos wt در معادلات فوق به ازای x = 0 كه مختصهی نقطهی انتهایی محیط فرض شده است دامنهی موج ایستاده، صفراست. یعنی همانگونه كه قبلا دیده شد در انتهای بسته گره تشكیل می شود. دامنهی موج ایستاده در این مثال 2A sin k x است . مشاهده میشود كه این دامنه تابع x است یعنی دامنه موج ایستاده در x های مختلف ( نقطههای مختلف طناب ) فرق میكند . به ازای sin k x = 0 محل گره ها به طور كلی تعیین می شود sin k x = 0 k x = n p ( 2 p / l ) x = n p x = n l / 2 به روش دیگر میدانیم در گره ها موج های تداخلی در فاز مخالفاند : D j = j r - j i D j = ( w t + k x - p ) – ( w t - k x ) D j = 2 k x - p 2 k x - p = ( 2n - 1 ) p 2 ( 2 p / l ) x = 2n p x = n l / 2 به ازای sin k x = 1 محل شكمها به طور كلی تعیین می شود sin k x = 0 ] 2 k x - p = 2 n p ] ( 2 p / l ) x = ( 2 n + 1 ) p / 2 ] x = ( 2 n – 1 ) l / 4 به روش دیگر میدانیم در شكم ها موج های تداخلی همفازند : D j = j r - j i = ( w t + k x - p ) – ( w t - k x ) D j = 2 k x - p 2 k x - p = 2 n p 2 k x = ( 2 n – 1 ) p 2 ( 2 p / l ) x = ( 2 n – 1 ) p x = ( 2 n – 1 ) l / 4 |
